<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">% &lt;html&gt;&lt;head&gt;&lt;title&gt;Weights for fitting polynomial trends&lt;/title&gt;

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\begin{center}
{\Large\textbf{Weights for fitting polynomial trends}}
\end{center}

\noindent
The following tables are independently computed on the lines of those in
Dudley J. Cowden,  \textit{Weights for fitting polynomial secular
trends}, Technical Paper No. 4, School of Business Administration,
University of North Carolina, 1962.  Cowden gives values up to
$N = 25$, and also values for even $N$.  Similar tables can be found in
M~G~Kendall, \textit{Time-Series}, London: Griffin 1973 and 1976,
Appendix A (see also his Section 3.9 and 3.10, pp.\,37--38).

Except in one or two early tables, the tables give the weights required
to fit at one end of the series, those for the other end being given by
symmetry.  For example, for fitting a straight line (a simple moving
average) to nine points the weights for the first point are 
$\frac{1}{45}[ 17, 14, 11, 8, 5, 2, - 1, - 4, - 7]$. Those for the
second point are $\frac{1}{180}[56, 47, 38, 29, 20, 11, 2, - 7, - 16]$ and 
so on.  Similarly for the last but three point we use the column headed
4 reading the values \textit{up} the tables, so obtaining the values
$\frac{1}{180}[8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 321]$, and so on. 

The columns headed 0 give the weights required to extrapolate the
fitting one unit beyond the end of the observed series. 

The sums in the last row but one are the sums of the integral weights
given in the table. 

The final row in the table is the square root of the error-reducing
factor, i.e.\ $\sqrt{\sum x_i^2/(\sum x_i)^2}$ where the values in that 
column are denoted $x_i$.

\newpage

{\small
\[
\begin{array}{rrr}
\multicolumn{3}{c}{\textit{LINEAR}} \\
\multicolumn{3}{c}{N=3} \\
\ \\
0&amp;1&amp;2 \\
\ \\
4&amp;5&amp;1 \\
1&amp;2&amp;1 \\
-2&amp;-1&amp;1 \\
3&amp;6&amp;3 \\
1.528&amp;0.913&amp;0.577
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{rrrr}
\multicolumn{4}{c}{N=5} \\
\ \\
0&amp;1&amp;2&amp;3 \\
\ \\
8&amp;3&amp;4&amp;1 \\
5&amp;2&amp;3&amp;1 \\
2&amp;1&amp;2&amp;1 \\
-1&amp;0&amp;1&amp;1 \\
-4&amp;-1&amp;0&amp;1 \\
\ \\
10&amp;5&amp;10&amp;5 \\
1.049&amp;0.775&amp;0.548&amp;0.447
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{rrrrr}
\multicolumn{5}{c}{N=7} \\
0&amp;1&amp;2&amp;3&amp;4 \\
\ \\
4&amp;13&amp;5&amp;7&amp;1 \\
3&amp;10&amp;4&amp;6&amp;1 \\
2&amp;7&amp;3&amp;5&amp;1 \\
1&amp;4&amp;2&amp;4&amp;1 \\
0&amp;1&amp;1&amp;3&amp;1 \\
-1&amp;-2&amp;0&amp;2&amp;1 \\
-2&amp;-5&amp;-1&amp;1&amp;1 \\
\ \\
7&amp;28&amp;14&amp;28&amp;7 \\
0.845&amp;0.681&amp;0..535&amp;0.423&amp;0.378 
\end{array}
\]

\newpage

\[
\begin{array}{rrrrrr}
\multicolumn{6}{c}{\text{LINEAR}} \\
\multicolumn{6}{c}{N=9} \\
\ \\
0&amp;1&amp;2&amp;3&amp;4&amp;5 \\
\ \\
16&amp;17&amp;56&amp;22&amp;32&amp;1 \\
13&amp;14&amp;47&amp;19&amp;29&amp;1 \\
10&amp;11&amp;38&amp;16&amp;26&amp;1 \\
7&amp;8&amp;29&amp;13&amp;23&amp;1 \\
4&amp;5&amp;20&amp;10&amp;20&amp;1 \\
1&amp;2&amp;11&amp;7&amp;17&amp;1 \\
-2&amp;-1&amp;2&amp;4&amp;14&amp;1 \\
-5&amp;-4&amp;-7&amp;1&amp;11&amp;1 \\
-8&amp;-7&amp;-16&amp;-2&amp;8&amp;1 \\
\ \\
36&amp;45&amp;180&amp;90&amp;180&amp;9 \\
0.726&amp;0.615&amp;0.511&amp;0.422&amp;0.357&amp;0.333 
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{rrrrrrr}
\multicolumn{7}{c}{N=11} \\
\ \\
0&amp;1&amp;2&amp;3&amp;4&amp;5&amp;6 \\
\ \\
20&amp;7&amp;15&amp;25&amp;10&amp;15&amp;1 \\
17&amp;6&amp;13&amp;22&amp;9&amp;14&amp;1 \\
14&amp;5&amp;11&amp;19&amp;8&amp;13&amp;1 \\
11&amp;4&amp;9&amp;16&amp;7&amp;12&amp;1 \\
8&amp;3&amp;7&amp;13&amp;6&amp;11&amp;1 \\
5&amp;2&amp;5&amp;10&amp;5&amp;10&amp;1 \\
2&amp;1&amp;3&amp;7&amp;4&amp;9&amp;1 \\
-1&amp;0&amp;1&amp;4&amp;3&amp;8&amp;1 \\
-4&amp;-1&amp;-1&amp;1&amp;2&amp;7&amp;1 \\
-7&amp;-2&amp;-3&amp;-2&amp;1&amp;6&amp;1 \\
-10&amp;-3&amp;-5&amp;-5&amp;0&amp;5&amp;1 \\
\ \\
55&amp;22&amp;55&amp;110&amp;55&amp;110&amp;11 \\
0.647&amp;0.564&amp;0.486&amp;0.416&amp;0.357&amp;0.316&amp;0.302 
\end{array}
\]

\newpage

\[
\begin{array}{rrrrrrrr}
\multicolumn{8}{c}{\text{LINEAR}} \\
\multicolumn{8}{c}{N=13} \\
\ \\
0&amp;1&amp;2&amp;3&amp;4&amp;5&amp;6&amp;7 \\
\ \\
8&amp;25&amp;44&amp;19&amp;32&amp;13&amp;20&amp;1 \\
7&amp;22&amp;39&amp;17&amp;29&amp;12&amp;19&amp;1 \\
6&amp;19&amp;34&amp;15&amp;26&amp;11&amp;18&amp;1 \\
5&amp;16&amp;29&amp;13&amp;23&amp;10&amp;17&amp;1 \\
4&amp;13&amp;24&amp;11&amp;20&amp;9&amp;16&amp;1 \\
3&amp;10&amp;19&amp;9&amp;17&amp;8&amp;15&amp;1 \\
2&amp;7&amp;14&amp;7&amp;14&amp;7&amp;14&amp;1 \\
1&amp;4&amp;9&amp;5&amp;11&amp;6&amp;13&amp;1 \\
0&amp;1&amp;4&amp;3&amp;8&amp;5&amp;12&amp;1 \\
-1&amp;-2&amp;-1&amp;1&amp;5&amp;4&amp;11&amp;1 \\
-2&amp;-5&amp;-6&amp;-1&amp;2&amp;3&amp;10&amp;1 \\
-3&amp;-8&amp;-11&amp;-3&amp;-1&amp;2&amp;9&amp;1 \\
-4&amp;-11&amp;-16&amp;-5&amp;-4&amp;1&amp;8&amp;1 \\
\ \\
26&amp;91&amp;182&amp;91&amp;182&amp;91&amp;182&amp;13 \\
0.588&amp;0.524&amp;0.463&amp;0.406&amp;0.355&amp;0.314&amp;0.287&amp;0.277 
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{rrrrrrrrr}
\multicolumn{9}{c}{N=15} \\
\ \\
0&amp;1&amp;2&amp;3&amp;4&amp;5&amp;6&amp;7&amp;8 \\
\ \\
28&amp;29&amp;91&amp;161&amp;35&amp;119&amp;49&amp;77&amp;1 \\
25&amp;26&amp;82&amp;146&amp;32&amp;110&amp;46&amp;74&amp;1 \\
22&amp;23&amp;73&amp;131&amp;29&amp;101&amp;43&amp;71&amp;1 \\
19&amp;20&amp;64&amp;116&amp;26&amp;92&amp;40&amp;68&amp;1 \\
16&amp;17&amp;55&amp;101&amp;23&amp;83&amp;37&amp;65&amp;1 \\
13&amp;14&amp;46&amp;86&amp;20&amp;74&amp;34&amp;62&amp;1 \\
10&amp;11&amp;37&amp;71&amp;17&amp;65&amp;31&amp;59&amp;1 \\
7&amp;8&amp;28&amp;56&amp;14&amp;56&amp;28&amp;56&amp;1 \\
4&amp;5&amp;19&amp;41&amp;11&amp;47&amp;25&amp;53&amp;1 \\
1&amp;2&amp;10&amp;26&amp;a&amp;38&amp;22&amp;50&amp;1 \\
-2&amp;-1&amp;1&amp;11&amp;5&amp;29&amp;19&amp;47&amp;1 \\
-5&amp;-4&amp;-8&amp;-4&amp;2&amp;20&amp;16&amp;44&amp;1 \\
-8&amp;-7&amp;-17&amp;-19&amp;-1&amp;11&amp;13&amp;41&amp;1 \\
-11&amp;-10&amp;-26&amp;-34&amp;-4&amp;2&amp;10&amp;38&amp;1 \\
-14&amp;-13&amp;-35&amp;-49&amp;-7&amp;-7&amp;7&amp;35&amp;1 \\
\ \\
105&amp;120&amp;420&amp;840&amp;210&amp;840&amp;420&amp;840&amp;15 \\
0.543&amp;0.492&amp;0.442&amp;0.395&amp;0.352&amp;0.314&amp;0.285&amp;0.265&amp;0.258 
\end{array}
\]

\newpage

\[
\begin{array}{rrrrrrrrrr}
\multicolumn{10}{c}{\text{LINEAR}} \\
\multicolumn{10}{c}{N=17} \\
\ \\
0&amp;1&amp;2&amp;3&amp;4&amp;5&amp;6&amp;7&amp;8&amp;9 \\
\ \\
32&amp;11&amp;80&amp;12&amp;64&amp;14&amp;16&amp;20&amp;32&amp;1 \\
29&amp;10&amp;73&amp;11&amp;59&amp;13&amp;15&amp;19&amp;31&amp;1 \\
26&amp;9&amp;66&amp;10&amp;54&amp;12&amp;14&amp;18&amp;30&amp;1 \\
23&amp;8&amp;59&amp;9&amp;49&amp;11&amp;13&amp;17&amp;29&amp;1 \\
20&amp;7&amp;52&amp;8&amp;44&amp;10&amp;12&amp;16&amp;28&amp;1 \\
17&amp;6&amp;45&amp;7&amp;39&amp;9&amp;11&amp;15&amp;27&amp;1 \\
14&amp;5&amp;38&amp;6&amp;34&amp;8&amp;10&amp;14&amp;26&amp;1 \\
11&amp;4&amp;31&amp;5&amp;29&amp;7&amp;9&amp;13&amp;25&amp;1 \\
8&amp;3&amp;24&amp;4&amp;24&amp;6&amp;8&amp;12&amp;24&amp;1 \\
5&amp;2&amp;17&amp;3&amp;19&amp;5&amp;7&amp;11&amp;23&amp;1 \\
2&amp;1&amp;10&amp;2&amp;14&amp;4&amp;6&amp;10&amp;22&amp;1 \\
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-7&amp;-2&amp;-11&amp;-1&amp;-1&amp;1&amp;3&amp;7&amp;19&amp;1 \\
-10&amp;-3&amp;-18&amp;-2&amp;-6&amp;0&amp;2&amp;6&amp;18&amp;1 \\
-13&amp;-4&amp;-25&amp;-3&amp;-11&amp;-1&amp;1&amp;5&amp;17&amp;1 \\
-16&amp;-5&amp;-32&amp;-4&amp;-16&amp;-2&amp;0&amp;4&amp;16&amp;1 \\
\ \\
136&amp;51&amp;408&amp;68&amp;408&amp;102&amp;136&amp;204&amp;408&amp;17 \\
0.507&amp;0.464&amp;0.423&amp;0.383&amp;0.347&amp;0.313&amp;0.284&amp;0.262&amp;0.248&amp;0.243 
\end{array}
\]

\newpage

\[
\begin{array}{rrrrrrrrrrr}
\multicolumn{11}{c}{\text{LINEAR}} \\
\multicolumn{11}{c}{N=19} \\
\ \\
0&amp;1&amp;2&amp;3&amp;4&amp;5&amp;6&amp;7&amp;8&amp;9&amp;10 \\
\ \\
12&amp;37&amp;51&amp;93&amp;14&amp;15&amp;33&amp;19&amp;24&amp;39&amp;1 \\
11&amp;34&amp;47&amp;86&amp;13&amp;14&amp;31&amp;18&amp;23&amp;38&amp;1 \\
10&amp;31&amp;43&amp;79&amp;12&amp;13&amp;29&amp;17&amp;22&amp;37&amp;1 \\
9&amp;28&amp;39&amp;72&amp;11&amp;12&amp;27&amp;16&amp;21&amp;36&amp;1 \\
8&amp;25&amp;35&amp;65&amp;10&amp;11&amp;25&amp;15&amp;20&amp;35&amp;1 \\
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5&amp;16&amp;23&amp;44&amp;7&amp;8&amp;19&amp;12&amp;17&amp;32&amp;1 \\
4&amp;13&amp;19&amp;37&amp;6&amp;7&amp;17&amp;11&amp;16&amp;31&amp;1 \\
3&amp;10&amp;15&amp;30&amp;5&amp;6&amp;15&amp;10&amp;15&amp;30&amp;1 \\
2&amp;7&amp;11&amp;23&amp;4&amp;5&amp;13&amp;9&amp;14&amp;29&amp;1 \\
1&amp;4&amp;7&amp;16&amp;3&amp;4&amp;11&amp;8&amp;13&amp;28&amp;1 \\
0&amp;1&amp;3&amp;9&amp;2&amp;3&amp;9&amp;7&amp;12&amp;27&amp;1 \\
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-2&amp;-5&amp;-5&amp;-5&amp;0&amp;1&amp;5&amp;5&amp;10&amp;25&amp;1 \\
-3&amp;-8&amp;-9&amp;-12&amp;-1&amp;0&amp;3&amp;4&amp;9&amp;24&amp;1 \\
-4&amp;-11&amp;-13&amp;-19&amp;-2&amp;-1&amp;1&amp;3&amp;8&amp;23&amp;1 \\
-5&amp;-14&amp;-17&amp;-26&amp;-3&amp;-2&amp;-1&amp;2&amp;7&amp;22&amp;1 \\
-6&amp;-17&amp;-21&amp;-33&amp;-4&amp;-3&amp;-3&amp;1&amp;6&amp;21 \\
\ \\
57&amp;190&amp;285&amp;570&amp;95&amp;114&amp;285&amp;190&amp;285&amp;570&amp;19 \\
0.478&amp;0.441&amp;0.406&amp;0.372&amp;0.340&amp;0.311&amp;0.284&amp;0.262&amp;0.244&amp;0.233&amp;0.229 
\end{array}
\]

\newpage

\[
\begin{array}{rrrr}
\multicolumn{4}{c}{\text{QUADRATIC}} \\
\multicolumn{4}{c}{N=5} \\
\ \\
0&amp;1&amp;2&amp;3 \\
\ \\
9&amp;31&amp;9 &amp;-3 \\
0&amp;9&amp;13&amp;12 \\
-4&amp;-3&amp;12&amp;17 \\
-3&amp;-5&amp;6&amp;12 \\
3&amp;3&amp;-5&amp;-3 \\
\ \\
5&amp;35&amp;35&amp;35 \\
2.145&amp;0.941&amp;0.609&amp;0.697 
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{rrrrr}
\multicolumn{5}{c}{N=7} \\
\ \\
0&amp;1&amp;2&amp;3&amp;4 \\
\ \\
9&amp;32&amp;5&amp;1&amp;-2 \\
3&amp;15&amp;4&amp;3&amp;3 \\
-1&amp;3&amp;3&amp;4&amp;6 \\
-3&amp;-4&amp;2&amp;4&amp;7 \\
-3&amp;-6&amp;1&amp;3&amp;6 \\
-1&amp;-3&amp;0&amp;1&amp;3 \\
3&amp;5&amp;-1&amp;-2&amp;-2 \\
\ \\
7&amp;42&amp;14&amp;14&amp;21 \\
1.558&amp;0.873&amp;0.535&amp;0.535&amp;0.577 
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{rrrrrr}
\multicolumn{6}{c}{N=9} \\
\ \\
0&amp;1&amp;2&amp;3&amp;4&amp;5 \\
\ \\
42&amp;109&amp;126&amp;378&amp;14&amp;-21 \\
21&amp;63&amp;92&amp;441&amp;273&amp;14 \\
5&amp;27&amp;63&amp;464&amp;447&amp;39 \\
-6&amp;1&amp;39&amp;447&amp;536&amp;54 \\
-12&amp;-15&amp;20&amp;390&amp;540&amp;59 \\
-13&amp;-21&amp;6&amp;293&amp;459&amp;54 \\
-9&amp;-17&amp;-3&amp;156&amp;293&amp;39 \\
0&amp;-3&amp;-7&amp;-21&amp;42&amp;14 \\
21&amp;-6&amp;-238&amp;-294&amp;-21&amp;14 \\
\ \\
42&amp;165&amp;330&amp;2310&amp;2310&amp;231 \\
1.272&amp;0.813&amp;0.528&amp;0.448&amp;0.482&amp;0.505 
\end{array}
\]

\newpage

\[
\begin{array}{rrrrrrr}
\multicolumn{7}{c}{\text{QUADRATIC}} \\
\multicolumn{7}{c}{N=11} \\
\ \\
0&amp;1&amp;2&amp;3&amp;4&amp;5&amp;6 \\
\ \\
135&amp;83&amp;270&amp;450&amp;55&amp;-15&amp;-36 \\
81&amp;54&amp;199&amp;414&amp;87&amp;46&amp;9 \\
37&amp;30&amp;138&amp;373&amp;109&amp;92&amp;44 \\
3&amp;11&amp;87&amp;327&amp;121&amp;123&amp;69 \\
-21&amp;-3&amp;46&amp;276&amp;123&amp;139&amp;84 \\
-35&amp;-12&amp;15&amp;220&amp;115&amp;140&amp;89 \\
-39&amp;-16&amp;-6&amp;159&amp;97&amp;126&amp;84 \\
-33&amp;-15&amp;-17&amp;93&amp;69&amp;97&amp;69 \\
-17&amp;-9&amp;-18&amp;22&amp;31&amp;53&amp;44 \\
9&amp;2&amp;-9&amp;-54&amp;-17&amp;-6&amp;9 \\
45&amp;18&amp;10&amp;-135&amp;-75&amp;-80&amp;-36 \\
\ \\
165&amp;143&amp;715&amp;2145&amp;715&amp;715&amp;429 \\
1.098&amp;0.762&amp;0.528&amp;0.417&amp;0.411&amp;0.441&amp;0.455 
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{rrrrrrrr}
\multicolumn{8}{c}{N=13} \\
\ \\
01&amp;1&amp;2&amp;3&amp;4&amp;5&amp;6&amp;7 \\
99&amp;47&amp;33&amp;231&amp;121&amp;33&amp;-33&amp;-11 \\
66&amp;33&amp;25&amp;198&amp;132&amp;77&amp;33&amp;0 \\
38&amp;21&amp;18&amp;167&amp;138&amp;ill&amp;86&amp;9 \\
15&amp;11&amp;12&amp;138&amp;139&amp;135&amp;126&amp;16 \\
-3&amp;3&amp;7&amp;ill&amp;135&amp;149&amp;153&amp;21 \\
-16&amp;-3&amp;3&amp;86&amp;126&amp;153&amp;167&amp;24 \\
-24&amp;-7&amp;0&amp;63&amp;112&amp;147&amp;168&amp;25 \\
-27&amp;-9&amp;-2&amp;42&amp;93&amp;131&amp;156&amp;24 \\
-25&amp;-9&amp;-3&amp;23&amp;69&amp;105&amp;131&amp;21 \\
-18&amp;-7&amp;-3&amp;6&amp;40&amp;69&amp;93&amp;16 \\
-6&amp;-3&amp;-2&amp;-9&amp;6&amp;23&amp;42&amp;9 \\
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